Giả sử X {\displaystyle X} có đặc trưng trên.

Chứng minh X {\displaystyle X} compact.Giả sử X {\displaystyle X} không compact.Gọi O {\displaystyle O} là một phủ mở của X {\displaystyle X} . ⋃ U ∈ O U = X U ∈ τ X {\displaystyle \bigcup _{U\in O}U=X\qquad U\in \tau _{X}} O {\displaystyle O} không có phủ con hữu hạn.Cho S {\displaystyle S} là một họ con hữu hạn của O {\displaystyle O} tức là S ⊂ O , | S | < ∞ {\displaystyle S\subset O,\;|S|<\infty } thì S {\displaystyle S} không phủ được X {\displaystyle X} : ⋃ U ∈ S U ⊊ X {\displaystyle \bigcup _{U\in S}U\varsubsetneq X} Suy ra X ∖ ⋃ U ∈ S U ≠ ∅ : ⋂ U ∈ S ( X ∖ U ) ≠ ∅ ( ∗ ) {\displaystyle X\backslash \bigcup _{U\in S}U\neq \emptyset :\bigcap _{U\in S}(X\backslash U)\neq \emptyset \qquad (*)} Xét họ F = { X ∖ U | U ∈ O } {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{X\backslash U\,|\,U\in O\}} Do ( ∗ ) {\displaystyle (*)} nên F {\displaystyle {\mathcal {F}}} có tính giao hữu hạn. ⋂ C ∈ F C = ⋂ U ∈ O ( X ∖ U ) = X ∖ ( ⋃ U ∈ O U ) = ∅ {\displaystyle \bigcap _{C\in {\mathcal {F}}}C=\bigcap _{U\in O}(X\backslash U)=X\backslash \left(\bigcup _{U\in O}U\right)=\emptyset } .Mâu thuẫn giả thiết.Suy ra định lý được chứng minh.